伺服电动机的时间常数分析

摘要：用户对运动控制系统要求的不断提高，使得表征伺服电动机动态性能指标的时间常数县有重要意义。文中分析了机械时间常数的变化规律以及同电气时间常数和机电时间常数之间的相互关系。测试证明，各时间常数之间的关系结论对理解时间常数和工程应用具有一定指导意义。

O  引  言

   电机的时间常数根据其所反应机电系统动态性能的固有特性不同而分为电气时间常数τe、机械时间常数τm和机电时间常数τme、以及反应电机发热的热时间常数τθ。由于热时间常数相对而言要大得多，因而在分析电机的动态或稳态性能时，一般不计热时间常数的影响。

   对于伺服电机而言，时间常数是反应其动态性能好坏的主要技术指标之一。按照国家标准GB／T2900的规定，电机的机械时间常数可按专门的公式计算，而机电时间常数τme则定义为空载加阶跃额定电压时，当转速达到空载转速的63.2％时所需的时间。由于在机电系统中电气过渡过程较机械过渡过程要短得多，因而一般有τe《τm，故在大多数教科书和电机拖动伺服类的书籍中，将电机的机电时间常数τme等同于或近似等同于电机的机械时间常数

τm，甚至在测试电机的时间常数时，只测τm巾并用机械时间常数代替机电时间常数，长期使用过程中以致于混淆或模糊了二者的关系。

  随着伺服电机的快速发展，运动控制的不断进步与提高，表征伺服电机动态性能的关键指标时间常数也发生了很大变化。不仅是动态性能，而且传统假设τe《τm的情况也不再满足，甚至会发生相反的状况，因此必须对电机时间常数重新认识和探讨。

1  理论基础

对直流伺服电动机和无刷直流伺服电动机等多类伺服电机来说，一般情况下经过推导都能写出如下系统方程：

（1）式中，U一电源电压，i一电枢电流，R一电枢电阻，L一电枢电感，J一转动惯量，Ω一角速度，Tem一电磁转矩，TL一负载转矩，B一阻尼系数，Kt一转矩常数，Ke一反电势常数。

根据时间常数的定义，设TL=0，并忽略摩擦转矩，式(1)可转化为：（2）令则式（2）变成：（3）式中，，为理想空载转速。

由式(3)可见，伺服电机是一个二阶系统。当然在伺服驱动系统中，可将其进行拉氏变换，采用传递函数的方法来进行研究，但考虑其直观性和对问题的对比理解方便，还是从时域系统中分析较为清晰。

方程(3)的解由两部分组成，即对应齐次方程的通解和特解。齐次方程的特征方程为：（4）解之：（5）对电机加阶跃电压起动过程而言，很明显，其特解之一为Ω=Ω0故式(3)的解可表示为：（6）这时，由式(1)可推得电流：（7）式中，C1、C2为待定常数，根据起动时的初始条件：代入式（6）求解后有：（8）将式(8)代人式(6)后得伺服电动机起动过程速度的变化规律为：（9）

2  机械时间常数及其发展变化

上面的推导中已经定义了电气时间常数和机械时间常数，为了进一步弄清其基本物理意义，进一步讨论。

电气时间常数反映的是作为电系统变化快慢的一个指标，在电路理论中已讲述较全，这里不再讨论，仅重点讨论机械时间常数。

将式(5)代入式(9)经整理后有：

这是一个比较复杂的结果，很难看出其规律性。

在传统电机理论和工程实践中，一般都假设τe《τm。为简化分析起见，令K=，对式(10)取极限：

（11）这时电流的变化为：（12）

从上式可以看出，角速度呈指数函数上升，最终达理想角速度。当t=τm时，角速度为理想稳态角速度的63.2％，即Ω(τm)一0.632Ω0这就是机械时间常数在时间上的基本含义。由于τe可忽略，因而通常也用此常数代替电机的机电时间常数。这在工程使用中已有足够的精度。值得注意的是上述结果也可在方程(1)中第1式令，从而建立一阶系统方程后直接推导取得。

由于伺服电动机发展已非常迅速，其动态性能和传统意义上的电机相比已显著提高。表1列举了几个公司部分产品典型规格的时间常数情况。从表1中可以看出，电气时间常数和机械时间常数已和传统的认识不阿。如果利用K=，从表1中给出的20几个国内外产品规格看，其变化范围为0.06～14.96，可见并非K≈0。

3  时间常数之间的相互关系

上面讨论了在传统情况下当τe《τm时，τm≈τm，但现在的伺服电机的实际情况远非如此。实际的动态过程可由式(9)来求解。但直接求解式(9)有些困难，且不便于理解，因而分析二种特殊情况下的时间常数。首先，假设K==1时。这时系统处于临界阻尼状态，系统的特征方程(4)有两个相等的实数根。通过待定系数法求解，或直接对式(10)取极限求解后得：

   (13)

结合式(7)可得此时的电流为：（14）

   尽管上式与式(11)有所类似，却大不相同，但总的来说还是成指数规律变化。根据机电时间常数的定义代入上式有：（15）解上述方程即可求得此时的机电时间常数，对其迭代求得：

τme≈1．08τm≈4.3τ    (16)也就是说在4k≈r由时，电机的机电时间常数和机械时间常数的差异<10％，用τm代替τme所造成的误差也不是太大。

表1伺服电动机的电气时间常数与机械时间常数

当时，特征方程的根是一对共轭复数根。

令

 （17）因而有：将式（17）代入式（9），经推导后可得

（18）

同样可推导得电流为：（19）

由式(18)可知电机在起动过程中将产生振荡，但系统是稳定的。围绕理想空载转速Ω0上下振荡并最终衰减直至稳定在Ω0，如图1。

由于电机的转速曲线在Ω0点上下振荡，故而对应于0.632Ω0转速点的时间不是唯一的，因此时间常数的概念或意义已不明确。类似的如果把转速首次0.632Ω0的时间定义为时间常数，如图1，尽管其含义已不相同，但并非无意义，至少它能反映此时电机系统的上升快慢。因为在控制系统中常把二阶振荡系统首次上升到Ω0点的时间定义为系统的上升时间。这时由式(18)通过分析计算可以得到当K接近于1时，≈4.3。随着K值的增大，逐渐减小，K增加很大时，其比值甚至有可能小于1。这也不难理解，因为这时电机振荡的振幅将会很大，系统的稳定性变差。实际的电机系统很少会运行在这种状况。

综合式(13)、式(16)、式(18)，伺服电机的机电时间常数与机械时间常数和电气时间常数之间的关系为：

·当电机的电气时间常数很小时，电机的机电时间常数τem=τm。

·当电机的电气时间常数和机械时间常数在临界点附近时，即4τe≈τm时，机电时间常数τme≈4.3，τe≈108τm。

·当电机满足4τe》τm时，机电时间常数一般情况下的取值范围为τme≈4.3τe～τ。

4   结  论

本文针对伺服电机发展，对影响电机动态性能的电气时间常数τe机械时常数τm和机电时间常数τme。可能出现的几种情况下的相互比例关系及其具体含义进行了较为系统的分析和讨论，对工程实践中伺服电机的时间常数的理解应用有一定的指导意义。通过对不同样机的分析测试也证明其正确性。但必须注意的是，所进行的推导是在一定前提下进行的，如在推导中忽略了静摩擦的影响和风摩擦的影响，因此利用本文的结果时要特别注意。同时对不同种类的伺服电机，电机的参数R、L、Kt、K。等也具有不同的含义，必须能等效方程(1)的形式才有比较的意义。